分治

难题被逐层拆解，每一次的拆解都使它变得更为简单。分而治之揭示了一个重要的事实：从简单做起，一切都不再复杂。

分治算法

分治，全称分而治之，是一种非常重要且常见的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两个步骤。 （1）分(划分阶段)：递归地将原问题分解为两个或多个子问题，直至到达最小子问题时终止。

（2）治(合并阶段)：从已知解的最小子问题开始，从底至顶地将子问题的解进行合并，从而构建出原问题的解。

下图的归并排序是分治策略的经典应用之一

如何判断分治问题

一个问题是否适合使用分治解决，通常可以参考以下几个判断依据：

1. 问题是否可以分解：原问题可以分解成规模更小、类似的子问题，以及能够以相同方式递归地进行划分。
2. 子问题是独立的：子问题之间没有重叠，互不依赖，可以独立解决。
3. 子问题的解可以合并：原问题的解通过合并子问题的解得来。

通过分治提升效率

分治不仅可以有效地解决算法问题，往往还可以提升算法效率。 在排序算法中，快速排序、归并排序、堆排序相较于选择、冒泡、插入排序更快，就是因为使用了分治策略。

分治常见应用

分治可以用来解决很多经典算法问题：

• 寻找最近点对：该算法首先将点集分成两部分，然后分别找出两部分中的最近点对，最后找出跨越两部分的最近点对。
• 大整数乘法：例如karatsuba算法，将大整数乘法分解为几个较小的整数的乘法和加法。
• 矩阵乘法：例如strassen算法，它将大矩阵乘法分解为多个小矩阵的乘法和加法。
• 汉诺塔问题：汉诺塔问题可以通过递归解决。
• 求解逆序对：在一个序列中，如果前面的数字大于后面的数字，那么这两个数字构成一个逆序对。求解逆序对问题可以利用分治的思想，借助归并排序进行分解。

分治在算法和数据结构的设计中应用得非常广泛

• 二分查找：二分查找是将有序数组从中点索引处分成两部分，然后根据目标值与中间元素比较结果，决定排除哪一半区间，并在剩余区间内执行相同的二分操作。
• 归并排序：将问题逐层拆解，后将答案合并。
• 快速排序：快速排序是选取一个基准值，然后将数组分成两个子数组，一个子数组的元素比基准值小，另外一个子数组的元素比基准值大，再对这两部分进行相同的划分操作，直至子数组只剩下一个元素。
• 桶排序：桶排序的基本思想是将数据分散到多个桶，然后对每个桶内的元素进行排序，最后将各个桶的元素依次取出，从而得到一个有序数组。
• 树：例如二叉搜索树、AVL树、红黑树、B树、B+树等，它们的查找、插入和删除等操作都可以视为分治策略的应用。
• 堆：堆是一种特殊的完全二叉树，其各种操作，如插入、删除和堆化，实际上都隐含了分治的思想。
• 哈希表：虽然哈希表并不直接应用分治，但某些哈希冲突解决方案间接应用分治策略，例如链式地址中的长链表会被转化为红黑树，以提升查询效率。

分治搜索策略

搜索算法分为两大类：

1. 暴力搜索：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为${O(n)}$
2. 自适应搜索：它利用特有的数据组织形式或先验信息，时间复杂度可达到${O(log n)}$甚至${O(1)}$

实际上，时间复杂度为${O(log n)}$的搜索算法通常是基于分治策略的，例如二分查找和树。

• 二分查找的每一步都将问题分解为一个小问题，直到数组为空或找到目标元素为止。
• 树是分治思想的代表，在二叉搜索树、AVL树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为${log n}$。

二分查找的分治策略如下：

1. 问题可以被分解
2. 子问题是独立的
3. 子问题的解无须合并

分治策略能够提升搜索效率在于，暴力搜索每轮只能排除一个选项，而分治策略则每轮可以排除一半选项。

基于分治实现二分查找

给定一个长度为n的有序数组nums，其中所有元素都是唯一的，请查找元素target。

/* 二分查找 */
function dfs(nums = [], target, l, r) {
	if (l > r) return -1;
	// 计算中点
	let mid = Math.floor((l + r) / 2);
	if (nums[mid] < target) {
		return dfs(nums, target, mid + 1, r);
	} else if (nums[mid] > target) {
		return dfs(nums, target, l, mid - 1);
	} else {
		return mid;
	}
}
function binarySearch(nums, target) {
	return dfs(nums, target, 0, nums.length - 1);
}

let res = binarySearch([1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], 3);
console.log(res);

构建二叉树问题

给定一个二叉树的前序遍历preorder和中序遍历inorder，请从中构建二叉树，并返回二叉树的跟节点，假设二叉树中无重复值。

/* 构建二叉树：分治 */
class TreeNode {
	value; // 节点值
	left; // 左子节点引用
	right; // 右子节点引用

	constructor(value, left, right) {
		this.value = value === undefined ? 0 : value;
		this.left = left === undefined ? 0 : left; // 0 表示不存在子节点
		this.right = right === undefined ? 0 : right; // 0 表示不存在子节点
	}
}
function dfs(preorder, inorderMap, i, l, r) {
	// 子树区间为空时终止
	if (r - l < 0) return null;
	// 初始化根节点
	const root = new TreeNode(preorder[i]);
	// 查询 m ，从而划分左右子树
	const m = inorderMap.get(preorder[i]);
	// 子问题：构建左子树
	root.left = dfs(preorder, inorderMap, i + 1, l, m - 1);
	// 子问题：构建右子树
	root.right = dfs(preorder, inorderMap, i + 1 + m - l, m + 1, r);
	// 返回根节点
	return root;
}

/* 构建二叉树 */
function buildTree(preorder, inorder) {
	// 初始化哈希表，存储 inorder 元素到索引的映射
	let inorderMap = new Map();
	for (let i = 0; i < inorder.length; i++) {
		inorderMap.set(inorder[i], i);
	}
	const root = dfs(preorder, inorderMap, 0, 0, inorder.length - 1);
	return root;
}

buildTree([3, 9, 2, 1, 7], [9, 3, 1, 2, 7]);

汉诺塔问题

给定三根柱子，记为A、B、C。起始状态下，柱子A上套着n个圆盘，它们从上至下按照从小到大顺序。我们的任务是要把这n个圆盘移动到柱子C上，并保持其原有顺序不变，且需遵循以下规则：

1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出，从另外一根柱子顶部放入。
2. 每次只能移动一个圆盘。
3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘上。

/* 移动一个圆盘 */
function move(src, tar) {
	// 从 src 顶部拿出一个圆盘
	const pan = src.pop();
	// 将圆盘放入 tar 顶部
	tar.push(pan);
}

/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
function dfs(i, src, buf, tar) {
	// 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
	if (i === 1) {
		move(src, tar);
		return;
	}
	// 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
	dfs(i - 1, src, tar, buf);
	// 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
	move(src, tar);
	// 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
	dfs(i - 1, buf, src, tar);
}

/* 求解汉诺塔问题 */
function solveHanota(A, B, C) {
	const n = A.length;
	// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
	dfs(n, A, B, C);

	console.log(A);
	console.log(B);
	console.log(C);
}

solveHanota([1, 2, 4, 5, 6, 7], [], []);

时间复杂度为${O(2^n)}$，空间复杂度为${O(n)}$

汉诺塔问题的递归树